Table Complète d'Intégrales
Guide de référence complet pour les intégrales indéfinies - plus de 100 formules
Intégrales de Base
| Fonction f(x) | Intégrale ∫f(x)dx | Domaine |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(kx + C\) | Tous les nombres réels |
| \(x^n\) (où \(n ≠ -1\)) | \(\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) | \(x ≥ 0\) si \(n < 0\), sinon tous les nombres réels |
| \(\displaystyle\frac{1}{x}\) | \(\ln|x| + C\) | \(x ≠ 0\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\displaystyle\frac{2x^{3/2}}{3} + C\) | \(x ≥ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x} + C\) | \(x > 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{x^2}\) | \(-\displaystyle\frac{1}{x} + C\) | \(x ≠ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{x^3}\) | \(-\displaystyle\frac{1}{2x^2} + C\) | \(x ≠ 0\) |
| \(x^{1/2}\) | \(\displaystyle\frac{2x^{3/2}}{3} + C\) | \(x ≥ 0\) |
| \(x^{-1/2}\) | \(2x^{1/2} + C\) | \(x > 0\) |
| \(x^{1/3}\) | \(\displaystyle\frac{3x^{4/3}}{4} + C\) | Tous les nombres réels |
Fonctions Exponentielles et Logarithmiques
| Fonction f(x) | Intégrale ∫f(x)dx | Domaine |
|---|---|---|
| \(e^x\) | \(e^x + C\) | Tous les nombres réels |
| \(a^x\) (où \(a > 0, a ≠ 1\)) | \(\displaystyle\frac{a^x}{\ln a} + C\) | Tous les nombres réels |
| \(e^{ax}\) (où \(a ≠ 0\)) | \(\displaystyle\frac{e^{ax}}{a} + C\) | Tous les nombres réels |
| \(\ln x\) | \(x \ln x - x + C\) | \(x > 0\) |
| \(\log_a x\) (où \(a > 0, a ≠ 1\)) | \(\displaystyle\frac{x \ln x - x}{\ln a} + C\) | \(x > 0\) |
| \(xe^x\) | \((x-1)e^x + C\) | Tous les nombres réels |
| \(x^2e^x\) | \((x^2-2x+2)e^x + C\) | Tous les nombres réels |
| \(e^{ax}\sin(bx)\) | \(\displaystyle\frac{e^{ax}(a\sin(bx) - b\cos(bx))}{a^2 + b^2} + C\) | Tous les nombres réels |
| \(e^{ax}\cos(bx)\) | \(\displaystyle\frac{e^{ax}(a\cos(bx) + b\sin(bx))}{a^2 + b^2} + C\) | Tous les nombres réels |
| \(\displaystyle\frac{\ln x}{x}\) | \(\displaystyle\frac{(\ln x)^2}{2} + C\) | \(x > 0\) |
| \((\ln x)^n\) | \(x(\ln x)^n - n\int (\ln x)^{n-1} dx\) | \(x > 0\) |
| \(e^{-x^2}\) | \(\displaystyle\frac{\sqrt{\pi}}{2}\text{erf}(x) + C\) | Tous les nombres réels |
Fonctions Trigonométriques
| Fonction f(x) | Intégrale ∫f(x)dx | Domaine |
|---|---|---|
| \(\sin x\) | \(-\cos x + C\) | Tous les nombres réels |
| \(\cos x\) | \(\sin x + C\) | Tous les nombres réels |
| \(\tan x\) | \(-\ln|\cos x| + C\) | \(x ≠ \frac{\pi}{2} + \pi n\) |
| \(\cot x\) | \(\ln|\sin x| + C\) | \(x ≠ \pi n\) |
| \(\sec x\) | \(\ln|\sec x + \tan x| + C\) | \(x ≠ \frac{\pi}{2} + \pi n\) |
| \(\csc x\) | \(-\ln|\csc x + \cot x| + C\) | \(x ≠ \pi n\) |
| \(\sec^2 x\) | \(\tan x + C\) | \(x ≠ \frac{\pi}{2} + \pi n\) |
| \(\csc^2 x\) | \(-\cot x + C\) | \(x ≠ \pi n\) |
| \(\sec x \tan x\) | \(\sec x + C\) | \(x ≠ \frac{\pi}{2} + \pi n\) |
| \(\csc x \cot x\) | \(-\csc x + C\) | \(x ≠ \pi n\) |
| \(\sin^2 x\) | \(\displaystyle\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C\) | Tous les nombres réels |
| \(\cos^2 x\) | \(\displaystyle\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C\) | Tous les nombres réels |
| \(\sin x \cos x\) | \(\displaystyle\frac{\sin^2 x}{2} + C\) | Tous les nombres réels |
| \(\sin^3 x\) | \(-\cos x + \displaystyle\frac{\cos^3 x}{3} + C\) | Tous les nombres réels |
| \(\cos^3 x\) | \(\sin x - \displaystyle\frac{\sin^3 x}{3} + C\) | Tous les nombres réels |
| \(\tan^2 x\) | \(\tan x - x + C\) | \(x ≠ \frac{\pi}{2} + \pi n\) |
| \(\sin(ax)\) | \(-\displaystyle\frac{\cos(ax)}{a} + C\) | Tous les nombres réels, \(a ≠ 0\) |
| \(\cos(ax)\) | \(\displaystyle\frac{\sin(ax)}{a} + C\) | Tous les nombres réels, \(a ≠ 0\) |
| \(\sin^n x\) | \(-\displaystyle\frac{\sin^{n-1} x \cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2} x dx\) | Tous les nombres réels |
| \(\cos^n x\) | \(\displaystyle\frac{\cos^{n-1} x \sin x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2} x dx\) | Tous les nombres réels |
Fonctions Trigonométriques Inverses
| Fonction f(x) | Intégrale ∫f(x)dx | Domaine |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\arcsin x + C\) | \(-1 < x < 1\) |
| \(\displaystyle-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\arccos x + C\) | \(-1 < x < 1\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{1+x^2}\) | \(\arctan x + C\) | Tous les nombres réels |
| \(\displaystyle-\frac{1}{1+x^2}\) | \(\text{arccot } x + C\) | Tous les nombres réels |
| \(\displaystyle\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\) | \(\text{arcsec } |x| + C\) | \(|x| > 1\) |
| \(\arcsin x\) | \(x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C\) | \(-1 ≤ x ≤ 1\) |
| \(\arccos x\) | \(x \arccos x - \sqrt{1-x^2} + C\) | \(-1 ≤ x ≤ 1\) |
| \(\arctan x\) | \(x \arctan x - \displaystyle\frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C\) | Tous les nombres réels |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\) | \(\arcsin\displaystyle\frac{x}{a} + C\) | \(|x| < a\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{a^2+x^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C\) | Tous les nombres réels, \(a ≠ 0\) |
Fonctions Hyperboliques
| Fonction f(x) | Intégrale ∫f(x)dx | Domaine |
|---|---|---|
| \(\sinh x\) | \(\cosh x + C\) | Tous les nombres réels |
| \(\cosh x\) | \(\sinh x + C\) | Tous les nombres réels |
| \(\tanh x\) | \(\ln(\cosh x) + C\) | Tous les nombres réels |
| \(\coth x\) | \(\ln|\sinh x| + C\) | \(x ≠ 0\) |
| \(\text{sech}^2 x\) | \(\tanh x + C\) | Tous les nombres réels |
| \(\text{csch}^2 x\) | \(-\coth x + C\) | \(x ≠ 0\) |
| \(\sinh^2 x\) | \(\displaystyle\frac{\sinh 2x}{4} - \frac{x}{2} + C\) | Tous les nombres réels |
| \(\cosh^2 x\) | \(\displaystyle\frac{\sinh 2x}{4} + \frac{x}{2} + C\) | Tous les nombres réels |
| \(\text{sech } x\) | \(\arctan(\sinh x) + C\) | Tous les nombres réels |
| \(\text{csch } x\) | \(\ln\left|\tanh\displaystyle\frac{x}{2}\right| + C\) | \(x ≠ 0\) |
Fonctions Rationnelles
| Fonction f(x) | Intégrale ∫f(x)dx | Domaine |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\frac{1}{ax + b}\) | \(\displaystyle\frac{\ln|ax + b|}{a} + C\) | \(x ≠ -\frac{b}{a}, a ≠ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{(ax + b)^2}\) | \(-\displaystyle\frac{1}{a(ax + b)} + C\) | \(x ≠ -\frac{b}{a}, a ≠ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{x^2 + a^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{a} \arctan\frac{x}{a} + C\) | Tous les nombres réels, \(a ≠ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{x^2 - a^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{2a} \ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C\) | \(x ≠ ±a, a ≠ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{a^2 - x^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{2a} \ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right| + C\) | \(x ≠ ±a, a ≠ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{x}{x^2 + a^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{2}\ln(x^2 + a^2) + C\) | Tous les nombres réels |
| \(\displaystyle\frac{x}{x^2 - a^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{2}\ln|x^2 - a^2| + C\) | \(x ≠ ±a\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{(x^2 + a^2)^2}\) | \(\displaystyle\frac{x}{2a^2(x^2 + a^2)} + \frac{1}{2a^3}\arctan\frac{x}{a} + C\) | Tous les nombres réels, \(a ≠ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{x^2}{x^2 + a^2}\) | \(x - a\arctan\displaystyle\frac{x}{a} + C\) | Tous les nombres réels, \(a ≠ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{x(x+a)}\) | \(\displaystyle\frac{1}{a}\ln\left|\frac{x}{x+a}\right| + C\) | \(x ≠ 0, -a\) |
Fonctions Radicales
| Fonction f(x) | Intégrale ∫f(x)dx | Domaine |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}\) | \(\ln(x + \sqrt{x^2 + a^2}) + C\) | Tous les nombres réels |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}\) | \(\ln|x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C\) | \(|x| > a\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}\) | \(\arcsin\displaystyle\frac{x}{a} + C\) | \(|x| < a\) |
| \(\sqrt{a^2 - x^2}\) | \(\displaystyle\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C\) | \(-a ≤ x ≤ a\) |
| \(\sqrt{x^2 + a^2}\) | \(\displaystyle\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2}\ln(x + \sqrt{x^2+a^2}) + C\) | Tous les nombres réels |
| \(\sqrt{x^2 - a^2}\) | \(\displaystyle\frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2}\ln|x + \sqrt{x^2-a^2}| + C\) | \(|x| ≥ a\) |
| \(\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}}\) | \(\sqrt{x^2 + a^2} + C\) | Tous les nombres réels |
| \(\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2 - a^2}}\) | \(\sqrt{x^2 - a^2} + C\) | \(|x| > a\) |
| \(\displaystyle\frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2}}\) | \(-\sqrt{a^2 - x^2} + C\) | \(|x| < a\) |
| \(\sqrt{ax + b}\) | \(\displaystyle\frac{2(ax + b)^{3/2}}{3a} + C\) | \(ax + b ≥ 0, a ≠ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{ax + b}}\) | \(\displaystyle\frac{2\sqrt{ax + b}}{a} + C\) | \(ax + b > 0, a ≠ 0\) |
| \(x\sqrt{x^2 + a^2}\) | \(\displaystyle\frac{(x^2 + a^2)^{3/2}}{3} + C\) | Tous les nombres réels |
Produits avec x
| Fonction f(x) | Intégrale ∫f(x)dx | Domaine |
|---|---|---|
| \(x\sin x\) | \(\sin x - x\cos x + C\) | Tous les nombres réels |
| \(x\cos x\) | \(\cos x + x\sin x + C\) | Tous les nombres réels |
| \(x^2\sin x\) | \((2 - x^2)\cos x + 2x\sin x + C\) | Tous les nombres réels |
| \(x^2\cos x\) | \((x^2 - 2)\sin x + 2x\cos x + C\) | Tous les nombres réels |
| \(x \ln x\) | \(\displaystyle\frac{x^2 \ln x}{2} - \frac{x^2}{4} + C\) | \(x > 0\) |
| \(x^2 \ln x\) | \(\displaystyle\frac{x^3 \ln x}{3} - \frac{x^3}{9} + C\) | \(x > 0\) |
| \(x^n \ln x\) | \(\displaystyle\frac{x^{n+1} \ln x}{n+1} - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + C\) | \(x > 0, n ≠ -1\) |
| \(x \arcsin x\) | \(\displaystyle\frac{x^2 \arcsin x}{2} + \frac{\sqrt{1-x^2}}{2} - \frac{x}{2} + C\) | \(-1 ≤ x ≤ 1\) |
| \(x \arctan x\) | \(\displaystyle\frac{x^2 \arctan x}{2} - \frac{x}{2} + \frac{\arctan x}{2} + C\) | Tous les nombres réels |
| \(x \sinh x\) | \(x \cosh x - \sinh x + C\) | Tous les nombres réels |
| \(x \cosh x\) | \(x \sinh x - \cosh x + C\) | Tous les nombres réels |
| \(x^n e^{ax}\) | \(\displaystyle\frac{x^n e^{ax}}{a} - \frac{n}{a}\int x^{n-1} e^{ax} dx\) | Tous les nombres réels, \(a ≠ 0\) |
| \(x^3 e^x\) | \((x^3 - 3x^2 + 6x - 6)e^x + C\) | Tous les nombres réels |
| \(x\tan x\) | \(x\ln|\cos x| + \displaystyle\frac{x^2}{2} + C\) | \(x ≠ \frac{\pi}{2} + \pi n\) |
Règles d'Intégration de Base
Linéarité :
\(\displaystyle\int [af(x) + bg(x)] dx = a\int f(x) dx + b\int g(x) dx\)
\(\displaystyle\int [af(x) + bg(x)] dx = a\int f(x) dx + b\int g(x) dx\)
Intégration par parties :
\(\displaystyle\int u \, dv = uv - \int v \, du\)
\(\displaystyle\int u \, dv = uv - \int v \, du\)
Substitution :
\(\displaystyle\int f(\varphi(x))\varphi'(x) dx = \int f(u) du\), où \(u = \varphi(x)\)
\(\displaystyle\int f(\varphi(x))\varphi'(x) dx = \int f(u) du\), où \(u = \varphi(x)\)
Fonctions paires :
\(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2\int_{0}^{a} f(x) dx\) (si \(f(-x) = f(x)\))
\(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2\int_{0}^{a} f(x) dx\) (si \(f(-x) = f(x)\))
Fonctions impaires :
\(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0\) (si \(f(-x) = -f(x)\))
\(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0\) (si \(f(-x) = -f(x)\))
Théorème Fondamental du Calcul :
\(\displaystyle\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\), où \(F'(x) = f(x)\)
\(\displaystyle\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\), où \(F'(x) = f(x)\)
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Interprétation Géométrique de l'Intégration
Référence Complète sur l'Intégration Mathématique
Ce tableau d'intégrales fournit un guide de référence complet pour les intégrales indéfinies des fonctions mathématiques courantes. Le tableau organise les formules d'intégrales par type de fonction, incluant les polynômes de base, les fonctions exponentielles et logarithmiques, les fonctions trigonométriques, les fonctions trigonométriques inverses, et les expressions avancées impliquant des radicaux et des fonctions rationnelles.
Formule Générale d'Intégration :
∫ f(x)dx = F(x) + C
Où F(x) est l'antidérivée de f(x) et C est la constante d'intégration.
∫ f(x)dx = F(x) + C
Où F(x) est l'antidérivée de f(x) et C est la constante d'intégration.
Chaque entrée du tableau de référence inclut la fonction originale f(x), son intégrale correspondante ∫f(x)dx, et le domaine de validité. Le tableau couvre les règles d'intégration fondamentales, les applications de la règle de puissance, les identités trigonométriques, les intégrations logarithmiques et exponentielles, et les techniques avancées pour les expressions radicales.
Catégories de Fonctions Couvertes
Fonctions de Base
Constantes, puissances xn, inverses 1/x, racines carrées √x
Exponentielles & Logarithmiques
ex, ax, ln(x), loga(x), xex
Trigonométriques
sin(x), cos(x), tan(x), sec2(x), sin2(x), cos2(x)
Trigonométriques Inverses
1/√(1-x2), 1/(1+x2), arcsin(x), arctan(x)
Expressions Avancées
√(a2-x2), 1/√(x2±a2), fonctions rationnelles
Exemples d'Utilisation du Tableau de Référence
- Recherche de ∫x3dx = x4/4 + C pour l'intégration polynomiale
- Recherche de ∫e2xdx = e2x/2 + C pour les fonctions exponentielles
- Référence à ∫sin(x)dx = -cos(x) + C pour l'intégration trigonométrique
- Vérification de ∫1/√(1-x2)dx = arcsin(x) + C pour les fonctions trigonométriques inverses
- Localisation de ∫ln(x)dx = x ln(x) - x + C pour les fonctions logarithmiques
- Recherche de ∫1/(x2+4)dx = (1/2)arctan(x/2) + C pour les expressions rationnelles
- Recherche de ∫√(9-x2)dx pour les formules d'intégration radicale
- Référence à ∫x·cos(x)dx = cos(x) + x·sin(x) + C pour les produits
- Vérification de ∫sec2(x)dx = tan(x) + C pour les fonctions sécantes
- Recherche de ∫1/√(x2+1)dx = ln(x + √(x2+1)) + C pour les formes hyperboliques
La référence inclut les restrictions de domaine pour chaque intégrale, les règles d'intégration telles que la linéarité et les méthodes de substitution, ainsi qu'une représentation visuelle montrant l'intégration comme l'aire sous une courbe. La fonctionnalité de recherche permet une consultation rapide de types de fonctions spécifiques ou d'expressions mathématiques.